Да, Владимир Путин был премьер-министром России при президенте Борисе Ельцине. Следует отметить, что в августе 1999 года Путин был назначен Премьер-Министром Российской Федерации. Это произошло вскоре после внезапной отставки предыдущего премьер-министра, Сергея Степа шин. Путин, который в то время занимал должность начальника Федеральной службы безопасности (ФСБ), был предложен на пост премьер-министра Борисом Ельциным, который позже подтвердил свое решение парламентом.
Таким образом, можно утверждать, что Владимир Путин был премьер-министром при Борисе Ельцине. Следует отметить, что это был период переходного правления в России, когда Ельцин постепенно передавал власть Путину, который в итоге стал его преемником на посту президента России.