Фамилия Путин происходит от старинных родовых имен - Путя, Путята, Путиха, Путянка и т.д. Эти имена были распространены среди русских родов в древности. В XIV-XV веках, когда в России появились фамильные имена, такие как Михайлов, Иванов, Петров и др., некоторые роды взяли в качестве фамилии именно такие нарицательные слова, как "Путя". В дальнейшем эта фамилия могла быть изменена под влиянием кокошниковами форм имен, которые оканчивались на -ин, -ов, -ен и т.д.
Само слово "пут" имеет значение "дорога", "путь". Оно может быть использовано как прозвище или родовое имя, указывающее на качества человека, например, его умение найти выход и преодолеть трудности на своем "пути".
Таким образом, фамилия Путин могла возникнуть от родового имени, которое со временем стало фамилией уже на протяжении многих столетий.