Путин - президент России, глава государства, и как таковой имеет иммунитет от ареста за пределами своей страны. Этот иммунитет защищает его от ареста и уголовного преследования за действия, совершаемые во время исполнения своей должности. Поэтому, в общем случае, Турция не имеет права арестовать Путина как президента России.
Тем не менее, существуют случаи, когда действующие главы государств были арестованы за преступления против человечности или другие крупные нарушения международного права. В подобных ситуациях международный суд может вынести решение об аресте главы государства, включая президента, несмотря на его иммунитет. Впрочем, на практике подобные сценарии редко встречаются.
Таким образом, в общем случае Турция не имеет права арестовать Путина за его действия как президента России, но в случае серьезных и очевидных нарушений международного права или преступлений против человечности, ситуация может измениться.